## Friday, 15 March 2013

### FRIDAY, 15 MARCH 2013

Today is the $74^{th}$ day of the year.

$74 = 2 \times 37$ which makes $74$ a semi-prime, see A001358.

$74 = 5^2 + 7^2$ which means that $74$ is the sum of two squares, see A000404.

$74^2 + 1 = 5476 +1 = 5477$ which is prime, see A005574.

The partition of a number is a way of writing a number as the sum of positive integers. If two sums contain the same digits and differ only in their order then they are considered the same partition. The number of partitions for a given number $n$ is what we will consider.
As an example consider the number $4$, this can be partitioned in $5$ different ways:
$1) 4$
$2) 3+1$
$3) 2+2$
$4) 2+1+1$
$5) 1+1+1+1$

A little inspection shows that, for the first ten numbers, the number of partitions are
$0: 1$
$1: 1$
$2: 2$
$3: 3$
$4: 5$
$5: 7$
$6: 11$
$7: 15$
$8: 22$
$9: 30$
The sequence $1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30$ is sequence A000041.

Partitions can be further restricted, for example, by only allowing powers of two to be used in the sum. Thus for $5$ we are reduced to the following four binary partitions:
$1) 4$
$2) 2+2$
$3) 2+1+1$
$4) 1+1+1+1$

Not surprisingly the sequence of the number of binary partitions is also in OEIS and is sequence A018819.
This sequence tells us that $74$ is the number ofbinary partitions for $22$ and $23$.
The $74$ binary partitions for $22$ are:
$[1] [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[2] [2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[3] [2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[4] [2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[5] [2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[6] [2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[7] [2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[8] [2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[9] [2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1]$
$[10] [2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1]$
$[11] [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1]$
$[12] [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2]$
$[13] [4,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[14] [4,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[15] [4,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[16] [4,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[17] [4,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[18] [4,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[19] [4,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1]$
$[20] [4,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1]$
$[21] [4,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1]$
$[22] [4,2,2,2,2,2,2,2,2,2]$
$[23] [4,4,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[24] [4,4,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[25] [4,4,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[26] [4,4,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[27] [4,4,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1]$
$[28] [4,4,2,2,2,2,2,1,1,1,1]$
$[29] [4,4,2,2,2,2,2,2,1,1]$
$[30] [4,4,2,2,2,2,2,2,2]$
$[31] [4,4,4,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[32] [4,4,4,2,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[33] [4,4,4,2,2,1,1,1,1,1,1]$
$[34] [4,4,4,2,2,2,1,1,1,1]$
$[35] [4,4,4,2,2,2,2,1,1]$
$[36] [4,4,4,2,2,2,2,2]$
$[37] [4,4,4,4,1,1,1,1,1,1]$
$[38] [4,4,4,4,2,1,1,1,1]$
$[39] [4,4,4,4,2,2,1,1]$
$[40] [4,4,4,4,2,2,2]$
$[41] [4,4,4,4,4,1,1]$
$[42] [4,4,4,4,4,2]$
$[43] [8,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[44] [8,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[45] [8,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[46] [8,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[47] [8,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1]$
$[48] [8,2,2,2,2,2,1,1,1,1]$
$[49] [8,2,2,2,2,2,2,1,1]$
$[50] [8,2,2,2,2,2,2,2]$
$[51] [8,4,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[52] [8,4,2,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[53] [8,4,2,2,1,1,1,1,1,1]$
$[54] [8,4,2,2,2,1,1,1,1]$
$[55] [8,4,2,2,2,2,1,1]$
$[56] [8,4,2,2,2,2,2]$
$[57] [8,4,4,1,1,1,1,1,1]$
$[58] [8,4,4,2,1,1,1,1]$
$[59] [8,4,4,2,2,1,1]$
$[60] [8,4,4,2,2,2]$
$[61] [8,4,4,4,1,1]$
$[62] [8,4,4,4,2]$
$[63] [8,8,1,1,1,1,1,1]$
$[64] [8,8,2,1,1,1,1]$
$[65] [8,8,2,2,1,1]$
$[66] [8,8,2,2,2]$
$[67] [8,8,4,1,1]$
$[68] [8,8,4,2]$
$[69] [16,1,1,1,1,1,1]$
$[70] [16,2,1,1,1,1]$
$[71] [16,2,2,1,1]$
$[72] [16,2,2,2]$
$[73] [16,4,1,1]$
$[74] [16,4,2]$

The $74$ binary partitions for $23$ are:
$[1] [1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[2] [2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[3] [2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[4] [2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[5] [2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[6] [2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[7] [2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[8] [2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[9] [2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1]$
$[10] [2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1]$
$[11] [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1]$
$[12] [2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1]$
$[13] [4,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[14] [4,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[15] [4,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[16] [4,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[17] [4,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[18] [4,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[19] [4,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1]$
$[20] [4,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1]$
$[21] [4,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1]$
$[22] [4,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1]$
$[23] [4,4,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[24] [4,4,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[25] [4,4,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[26] [4,4,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[27] [4,4,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1]$
$[28] [4,4,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1]$
$[29] [4,4,2,2,2,2,2,2,1,1,1]$
$[30] [4,4,2,2,2,2,2,2,2,1]$
$[31] [4,4,4,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[32] [4,4,4,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[33] [4,4,4,2,2,1,1,1,1,1,1,1]$
$[34] [4,4,4,2,2,2,1,1,1,1,1]$
$[35] [4,4,4,2,2,2,2,1,1,1]$
$[36] [4,4,4,2,2,2,2,2,1]$
$[37] [4,4,4,4,1,1,1,1,1,1,1]$
$[38] [4,4,4,4,2,1,1,1,1,1]$
$[39] [4,4,4,4,2,2,1,1,1]$
$[40] [4,4,4,4,2,2,2,1]$
$[41] [4,4,4,4,4,1,1,1]$
$[42] [4,4,4,4,4,2,1]$
$[43] [8,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[44] [8,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[45] [8,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[46] [8,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[47] [8,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1]$
$[48] [8,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1]$
$[49] [8,2,2,2,2,2,2,1,1,1]$
$[50] [8,2,2,2,2,2,2,2,1]$
$[51] [8,4,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[52] [8,4,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1]$
$[53] [8,4,2,2,1,1,1,1,1,1,1]$
$[54] [8,4,2,2,2,1,1,1,1,1]$
$[55] [8,4,2,2,2,2,1,1,1]$
$[56] [8,4,2,2,2,2,2,1]$
$[57] [8,4,4,1,1,1,1,1,1,1]$
$[58] [8,4,4,2,1,1,1,1,1]$
$[59] [8,4,4,2,2,1,1,1]$
$[60] [8,4,4,2,2,2,1]$
$[61] [8,4,4,4,1,1,1]$
$[62] [8,4,4,4,2,1]$
$[63] [8,8,1,1,1,1,1,1,1]$
$[64] [8,8,2,1,1,1,1,1]$
$[65] [8,8,2,2,1,1,1]$
$[66] [8,8,2,2,2,1]$
$[67] [8,8,4,1,1,1]$
$[68] [8,8,4,2,1]$
$[69] [16,1,1,1,1,1,1,1]$
$[70] [16,2,1,1,1,1,1]$
$[71] [16,2,2,1,1,1]$
$[72] [16,2,2,2,1]$
$[73] [16,4,1,1,1]$
$[74] [16,4,2,1]$